Research

Research Statement

私の研究関心は、数論・双曲幾何学・高階演算（ハイパー演算）の三分野を統一的な数学的構造として理解することである。

現代数学では、数論と幾何学は代数幾何学、保型形式、ラングランズ計画などを通じて深く結び付けられている。一方で、高階演算については指数関数・テトレーション・その上位演算など個々の対象に関する研究は存在するものの、それらを統一的な数学体系として扱う理論は十分には整備されていない。

私は、高階演算を単なる巨大な数を生成する操作としてではなく、空間や群作用、力学系、あるいは数論的対象と対応する数学的対象として理解したいと考えている。すなわち、演算の反復がどのような幾何学的構造や代数的構造を生み出すのかを明らかにし、その背後に存在する普遍的な原理を記述することを目標としている。

数論との関係では、高階演算によって生成される整数列や合同性、周期性、素数との関係、p進数への拡張、代数体上での定義可能性などに関心がある。また、解析的手法を用いて高階演算の漸近的性質や解析接続の可能性を研究し、従来の整数論・解析的数論との接点を探求したい。

双曲幾何学との関係では、指数関数や反復関数が生み出す軌道を負曲率空間や双曲力学系の観点から理解できる可能性に関心を持っている。反復演算が誘導する距離構造や自己相似性、離散群との対応、双曲空間上の変換との関係を研究することで、高階演算の幾何学的意味を明確にしたいと考えている。

さらに、演算そのものを対象とする新たな数学体系の構築にも関心がある。加法・乗法・冪乗を包含するだけでなく、それらを無限階まで一般化した演算列を統一的に記述し、連続化・複素化・順序数への拡張などを自然に扱える理論を構成したい。その過程では、圏論、代数、幾何学、力学系、計算理論など複数の分野との接続を積極的に探求したい。

長期的な研究目標は、「演算」と「空間」と「整数」を統一的に扱う数学理論を構築することである。整数の算術的性質、負曲率空間の幾何学、高階演算の反復構造という、一見独立に見える対象の間に共通する原理を明らかにし、新たな数学的枠組みを提示することを目指している。

Interests

• 数論
• 双曲幾何学
• ハイパー演算子の理論

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