部分群の存在の必要十分条件

まえがき

群論では、ある部分集合が部分群であることを示す場面が頻繁に現れる。部分群の定義を毎回そのまま用いると、複数の条件を個別に確認しなければならず、証明が冗長になりやすい。そのため、実際には

$$a,b\in H \Longrightarrow ab^{-1}\in H$$

という一つの条件だけを用いる部分群の判定法が広く利用される。本記事では、この条件が部分群であることの必要十分条件となる理由を、定義から順に証明する。

部分群の定義

$G$ を群とし、$H\subseteq G$ とする。$H$ が $G$ の部分群であるとは、$H$ が $G$ と同じ演算について群となることである。結合法則は親群 $G$ から自動的に受け継がれるため、確認すべき条件は、単位元が含まれること、積について閉じていること、逆元について閉じていることの三つだけである。

部分群の判定法

次の定理は、部分群を判定する際に最もよく用いられる。

定理　群 $G$ の空でない部分集合 $H$ に対し、次は同値である。

1. $H$ は $G$ の部分群である。
2. 任意の $a,b\in H$ に対して

$$ab^{-1}\in H$$

が成り立つ。

すなわち、単位元・積・逆元を個別に確認する代わりに、この一つの条件だけを調べれば十分である。(mathlandscape.com)

必要性

$H$ が部分群であると仮定する。部分群は逆元について閉じているため、$b\in H$ ならば $b^{-1}\in H$ である。また積についても閉じているので、$a,b^{-1}\in H$ から

$$ab^{-1}\in H$$

が従う。したがって、部分群ならば判定条件は必ず成立する。

十分性

逆に、任意の $a,b\in H$ に対して

$$ab^{-1}\in H$$

が成り立つと仮定する。この一つの条件から部分群の三条件を導く。

まず $a=b$ とすると

$$aa^{-1}=e$$

より、単位元 $e$ が $H$ に含まれる。次に $e,a\in H$ に判定条件を適用すると

$$ea^{-1}=a^{-1}\in H$$

となるため、逆元について閉じていることが分かる。さらに $b^{-1}\in H$ を用いて再び判定条件を適用すると

$$a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$$

となり、積についても閉じていることが従う。以上より、部分群の定義を満たすので $H$ は部分群である。

なぜ $ab^{-1}$ なのか

この判定法が成り立つ理由は、一つの条件から群の構造全体を復元できることにある。$a=b$ とすれば単位元が得られ、単位元が得られると逆元が導かれ、逆元が得られると積について閉じていることも導ける。このように、

$$ab^{-1}$$

という一つの式だけで、部分群の定義に必要な三条件を順番に証明できるため、部分群判定法は必要十分条件となるのである。

例

整数の加法群 $(\mathbb Z,+)$ において、偶数全体 $2\mathbb Z$ が部分群であることを示す。加法群では積は加法、逆元は負元であるから、判定条件は

$$a-b\in2\mathbb Z$$

となる。偶数同士の差は再び偶数であるため、この条件は成立する。したがって

$$2\mathbb Z\le\mathbb Z$$

である。単位元や逆元を個別に確認する必要はなく、判定条件だけで証明が完結する。(mathlandscape.com)

まとめ

部分群を定義から確認すると、単位元・積・逆元の三条件をそれぞれ証明しなければならない。一方、空でない部分集合 $H$ に対して

$$a,b\in H\Longrightarrow ab^{-1}\in H$$

が成り立つならば、単位元、逆元、積について閉じていることを順に導けるため、この一つの条件だけで部分群であることが証明できる。これが部分群判定法が群論で広く用いられる理由である。